Kursthemen
Kommunikation und Austausch untereinander
1. Rechnen mit natürlichen Zahlen
1.1. Addition und Subtraktion
1.1.1. Addition
Beispiel 1:
Du siehst hier mehrere verschieden farbige Striche und darunter die Anzahl der Striche in der jeweiligen Farbe.
Wenn man jetzt wissen möchte, wie viele Striche es insgesamt (also unabhängig von der Farbe) sind, dann kann man entweder ALLE Striche ZÄHLEN (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) oder aber wir addieren die beiden Zahlen und erhalten so die Gesamtanzahl der Striche 5 + 4 = 9 .
Beispiel 2:
Die Anzahl an Bonbons kann man über zählen oder über Addieren ermitteln.
+ 
3 Bonbons + 6 Bonbons = 9 Bonbons
1.1.2. Subtraktion
Du hast eine Tafel Schokolade bekommen. Die Tafel besteht aus 24 Stückchen und du ist 4 Stücke davon auf. Wie viele Stücke bleiben übrig?
Die Differenz aus den zunächst vorhandenen 24 Stücke und der Anzahl der gegessenen 4 Stücke entspricht dem Rest der Tafel Schokolade.
24 - 4 = 20 Minuend - Subtrahent = Differenz 1.2. Multiplikation und Division
1.2.1 Multiplikation - Die vereinfachte Schreibweise beim mehrfachen Addieren
Was ist die vereinfachte Schreibweise für 3+3+3+3+3+3+3+3 ?
8 mal wird die Drei addiert. Das kann man auch als \(8 \cdot 3\) schreiben.
Somit ist das Mal-Zeichen die abgekürzte Schreibweise bei der mehrfachen Addition ... also beim PLUS-Rechnen!
1.2.2. Division
Eine weitere Tafel Schokolade mit 24 Stücke soll auf 8 Personen verteilt werden.
Der Quotient aus den vorhandenen 24 Stücke (Divident ist die aufzuteilende Menge) und Anzahl der 8 Personen (Divisior ist die Anzahl, auf die etwas aufgeteilt werden soll) entspricht der Anzahl an Stücken je Person der Tafel Schokolade.
24 : 8 = 3 Divident : Divisor = Quotient 1.3. Mehrfaches Multiplizieren ("hoch")
In dem folgenden Text wird das mehrfache Addieren und das mehrfache Multiplizieren einer Zahl beschrieben und die vereinfachte Schreibweise dafür erklärt. Du kannst dir den Text auch vorlesen lassen:
1.3.1. Vereinfachte Schreibweise beim mehrfachen Addieren
Was ist die vereinfachte Schreibweise für 3+3+3+3+3+3+3+3 ??????
8 mal wird die Drei addiert. Das kann man auch als \( 8 \cdot 3 \) schreiben.
Somit ist das Mal-Zeichen die abgekürzte Schreibweise bei der mehrfachen Addition ... also beim Addieren (PLUS-Rechnen)!
1.3.2. Vereinfachte Schreibweise beim mehrfachen Multiplizieren
Was ist die vereinfachte Schreibweise für \( 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \) ??????
4 mal wird die 10 multipliziert. Das kann man auch als \( 10^4 \) (gesprochen 10 hoch 4:
) schreiben.Somit ist die hochgeschriebene Zahl die abgekürzte Schreibweise bei der mehrfachen Multiplikation ... also beim Multiplizieren (MAL-Rechnen)!
Masseneinheiten
Zeiteinheiten
A. Stellenwertsystem - Das 10er-System
Lies dir die folgenden Zahlen vor. Prüfe danach, indem du dir die Tondatei anhörst.
Zahlen sprechen und anhören Zahl Tondatei . 250 . 70 523 . 450 312 . 3 041 345 . 52 678 410 . Zahlen schreiben Zahl Hilfsschreibweise komplette Textschreibweise . 70 503 70 Tausend 503 siebzigtausendfünfhundertunddrei 450 312 450 Tausend 312 vierhunterfünfzigtausenddreihundertundzwölf 3 041 420 3 Millionen 41 Tausend 420 drei Millionen einundvierzigtausendvierhundertundzwanzig. 52 678 410 .
B. Stellenwertsystem - Das 2er-System (Dualsystem)
Schriftliches Rechnen
Schriftliches Addieren
Beispiel:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;5\;3\\\underline{+\;\;_1\;7\;2}\\\;\;\;\;1\;2\;5\end{array}\)
Schriftliches Subtrahieren
Beispiel:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;7\;4\;3\\\underline{-\;\;_1\;9\;2}\\\;\;\;\;6\;5\;1\end{array}\)
Schriftliches Multiplizieren
Beispiel:
34·14 =
Man kann das in zwei Rechnungen aufteilen nämlich in 34 · 10 =340 und 34 · 4 = 136.Folgende Rechnung zeigt, wie man das dann beim schriftlichen Rechnen untereinander notiert:
34·14
340
+136
476Schriftliches Dividieren
Beispiel:
528:4 = 132
-4
12
-12
08
-08
00
Potenzen
Weiter oben wurde bereits die vereinfachte Schreibweise für das mehrfache Multiplizieren am Beispiel der Zahl 10 betrachtet.
Wo kommen solche Potenzen vor?
1. Beispiel - Papierblattstapel
Nimm ein Blatt Papier, teile es in der Mitte und lege die Teile aufeinander. Zähle die Anzahl der Blätterlagen.
Teile die Blätter wieder in der Mitte, lege die Blätter erneut aufeinander und zähle die Anzahl der Blätterlagen.
Wiederhole so immer weiter ...
1. Teilen: Man erhält zwei Lagen Blätter beim ersten Teilen.
2. Teilen: Jetzt werden diese 2 Lagen wieder in der Mitte geteilt und übereinander gelegt. Man erhält 2 * 2 = 4 Blätterlagen.
3. Teilen: Jetzt werden diese 4 Lagen wieder in der Mitte geteilt und übereinander gelegt. Man erhält 2 * 2 * 2 = 8 Blätterlagen.
4. Teilen: Jetzt werden diese 8 Lagen wieder in der Mitte geteilt und übereinander gelegt. Man erhält 2 * 2 * 2 * 2 = 16 Blätterlagen.
5. Teilen: Jetzt werden diese 16 Lagen wieder in der Mitte geteilt und übereinander gelegt. Man erhält 2 * 2 * 2 * 2 * 2= 32 Blätterlagen.
... usw
Man kann dies auch in einer Tabelle darstellen:
Anzahl der Teilungen Lagen Potenzschreibweise 0 \( 1 \) \( 2^0 = 1 \) 1 \( 2^1 = 2 \) \( 2^1 = 2 \) 2 \( 2^2 = 2 \cdot 2 \) \( 2^2 = 4 \) 3 \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \) \( 2^3 = 8 \) 4 \( 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \) \( 2^4 =16 \) 5 \( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \) \( 2^5 =32 \) 6 \( 2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \) \( 2^6 =64 \) 7 \( 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \) \( 2^7 =128\) Hier noch ein paar Beispiele für das mehrfache Multiplizieren (Potenzieren)
\( 3^1 = 3 =\) \( 3 \) \( 3^2 = 3 \cdot 3 = \) \( 9 \) \( 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = \) \( 27 \) \( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = \) \( 81\) \( 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = \) \(243\) Terme
1. Erstmal Klammern suchen und berechnen.
2. Wenn innerhalb von Klammern Produkte sind, dann diese zuerst.
3. Wenn keine Klammern mehr vorhanden sind, dann Punktrechnungen suchen und berechnen.
4. Ansonsten von links nach rechts rechnen.
Rechengesetze - Assoziativ-, Kommutativ-, Distributivgesetz
Assoziativgesetz der Addition
Die Reihenfolge einer Rechnung kann durch Klammern verändert werden, denn es gibt die Regel "Klammern zuerst zu berechnen". Man darf aber nicht einfach irgendwelche Klammern setzen, sondern muss sich an bestimmte Regeln halten.
Hier ein Beispiel für das Assoziativgesetz der Addition:
Sollen die Zahlen 4 sowie 3 und auch 6 addiert werden, so kann man zuerst 4 + 3 = 7 rechnen und dann 6 addieren. Mit Klammern wäre diese Rechnung:
(4+3)+6 =
7 + 6 = 13
Alternativ kann man aber auch folgende Rechnung machen:
4+(3+6), also zuerst 3+6 = 9 berechnen und dann 4 plus 9 = 13
4+(3+6) =
4 + 9 = 13
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
Addition
Bei bestimmten Rechnungen darf man die Reihenfolge der Zahlen vertauschen.
Zum Beispiel ist es für die Gesamtanzahl von Bonbons nicht wichtig, ob du dir zuerst 4 Bonbons und dann 5 Bonbons (4+5=9) oder aber zuerst 5 Bonbons und dann 4 Bonbons (5+4=9) nimmst.
Bei der Addition darf man also die Reihenfolgen der Zahlen vertauschen: 4 + 5 = 5 + 4
Diese Rechenregel ist das Vertauschungsgesetz der Addition (Fachbegriff Kommutativgesetz der Addition).
kein Vertauschungsgesetz bei der Subtraktion
Bei der Subtraktion geht das nicht:
10 Bonbons haben - 3 Bonbons essen = 7 Bonbons bleiben übrig.
3 Bonbons haben - 10 Bonbons essen ?????? ups das geht ja gar nicht ....
Also es gibt kein Vertauschungsgesetz beim Minus-Rechnen!!!!!!
Multiplikation
3*5 = 15 aber auch 5*3 = 15
Es gibt auch ein Vertauschungsgesetz der Multiplikation: 3 * 5 = 5 * 3
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
Abschnitt 14
